有两种理解向量的视角——几何视角里，向量是一个有方向和大小的量；代数视角里，向量是一组有序的数的列表。 线性空间的核心发生在这两个视角的互相转换里。
线性组合
线性代数紧紧围绕向量加法和数乘。 两个数乘向量的和成为这两个向量的线性组合。
基向量
事实上，刚刚所说的代数视角，一般默认了直角坐标系。在这个坐标系里，任意的向量都可以表示为 \(\vec{i}\) 和 \(\vec{j}\) 的（唯一的）一个线性组合，我们把这样的向量称为基向量。 每当我们用数字表示向量的时候，这些数字都依赖于某组基。
向量张成的空间
如果我们默认向量的起点是原点，用向量的终点代替整个向量，那么空间中的每个点都对应一个向量，这种对应关系是一个双射。 每个向量全部线性组合构成的向量集合成为“张成的空间”。也就是仅通过向量加法和数乘两种运算，你可以得到的所有可能向量。 这正体现了代数和几何的转换。
线性相关与线性无关
一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么这个向量和其他向量线性相关。 ”多余“的理解：向量组中存在这样一个向量，删掉它，其他所有向量依旧可以由一组选定的基线性表出。 从几何的角度来看，这其实是这个向量对于张成的空间没用贡献，它本身就在这个空间内，移除它空间的维数不会减小。
- 线性表示的定义
向量 \(\vec{\beta}\) 可以由向量组 \(A = \{ \vec{\alpha_1}, \vec{\alpha_2}, ..., \vec{\alpha_n}\}\) 线性表示，则 \(\vec{\beta} = x_1\vec{\alpha_1} + x_2\vec{\alpha_2} + ... + x_n\vec{\alpha_n}\) 有非零解。
几何角度，说明 \(\vec{\beta}\) 落在了这些向量张成的空间里，“则”前面和后面的部分是张成的空间的几种不同定义。
点乘
（以下部分默认向量是二维的） 点乘的几何意义是投影向量和另一个向量的积，代数上是两向量对应元素的乘积的和。
代数上，两个向量点乘和一个 \(1 \times 2\) 矩阵与向量相乘的结果是一样的。 这个 \(1 \times 2\) 矩阵对应的线性变换是把二维向量映射到一维数轴上，变换后的两个基向量都是一维的。
\(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ac + bd\).
在 07-点积和对偶性 中有对代数和几何意义转换的证明。 一句话说，与某个向量做点乘，其实就是施加了它转置后对应的线性变换。这就是一个对偶性。
叉乘
对于二维向量，其实没有严格的叉乘。一般定义的二维向量的叉乘就是它们围成的平行四边形的有向面积，符合右手定则为正。
若 \(\vec{\alpha} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} , \vec{\beta} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\)，那么它们叉乘的大小是 \(\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad-bc\). 因为二维向量叉乘的几何意义和二阶行列式几何意义是一样的。
严格的叉乘是对于三维向量的，两个三维向量叉乘得到一个方向符合右手定则，大小正好为围成的平行四边形面积的向量。
若 \(\vec{\alpha} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} , \vec{\beta} = \begin{pmatrix} e \\ f \\ g \end{pmatrix}\)，那么它们叉乘的结果可由这个行列式计算： \(\begin{vmatrix} \vec{i} & a & e \\ \vec{j} & b & f \\ \vec{k} & c & g \end{vmatrix}\). 国内的教材常常写成转置的形式，结果是一样的，这样写方便我们后续的论述。
为什么在行列式里插入基向量，并且把基向量当作一个数，最后能得到叉乘向量的结果呢？ 类似于点乘和多维到一维线性变换的对偶性，我们可以这样解释： 如果行列式第一列不取基向量 \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) 而是取一个任意的三维向量 \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)，并把这个任意三维向量看作自变量，那么这个行列式就是个把三维向量映射到一维数轴的函数： \(\)f \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} x & a & e \ y & b & f \ z & c & g \end{vmatrix}\(\)其几何意义是这三个向量围成的平行六面体的体积。 由于行列式关于每一列都是线性的，所以这个函数也是线性的。那么这个从三维映射到一维的函数，可以理解成向量与某个 \(1 \times 3\) 矩阵相乘，即\(\)f \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u & m & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\(\)用对偶性的思想，这个矩阵是从三维映射到一维的线性变换，那么这个变换必然对应一个三维向量 \(\vec{p} = \begin{pmatrix} u \\ m \\ n \end{pmatrix}\) 使得\(\)f \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} x & a & e \ y & b & f \ z & c & g \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} u & m & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \ m \ n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\(\)现在的问题就是找到 \(\vec{p} = (u,m,n)^T\) 具体的值，让这些等式成立。 关注\(\)\begin{vmatrix} x & a & e \ y & b & f \ z & c & g \end{vmatrix} = x\begin{vmatrix} b & f \ c & g \end{vmatrix} - y\begin{vmatrix} a & e \ c & g \end{vmatrix} + z\begin{vmatrix} a & e \ b & f \end{vmatrix}\(\) 和\(\) \begin{pmatrix} u \ m \ n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = ux + my + nz\(\)对比系数就可以得到 \(\vec{p} = (u,m,n)^T\) 具体的值。
刚刚是代数的方法，从几何的角度思考，我们还可以说明这个向量 \(\vec{p}\) 的大小就是平行四边形的面积。 因为找这个向量 \(\vec{p}\) 就是在问： 与哪个向量做点乘，结果是行列式 \(\begin{vmatrix} x & a & e \\ y & b & f \\ z & c & g \end{vmatrix}\) ？ （最好在脑中想象一个三维空间，并且带有四个向量：已知向量 \((a,b,c)^T\) 和 \((e,f,g)^T\) ，可以自由移动的自变量向量 \((x,y,z)^T\) ，要找的对偶向量 \(\vec{p}\) ） 从行列式的几何意义上看，这是平行六面体的体积。而点乘把 \((x,y,z)^T\) 投影到自变量向量 \(\vec{p}\) 上。可以断言， \(\vec{p}\) 的大小是两个已知向量围成的平行四边形的面积，方向垂直于两已知向量且符合右手定则。这样 \((x,y,z)^T\) 投影的长度得到的就是高，乘积就是体积。且右手定则也保证了体积的有向性。