线性变换
线性的两个要求：
- 直线依旧是直线（坐标网格线保持平行且等距）
- 原点保持固定 实际教材中，线性变换满足的性质是保持加法和数乘运算。
只要确定了基向量的改变，这个线性变化对其他所有向量的作用就完全确定了。 线性变换的性质保证了，变换后的向量在新基下的坐标，和变换前的向量在旧基下的坐标是一致的。也就是说：
对于任意的 \(\vec{x} = a\vec{i} + b\vec{j}\) ，经过线性变换 \(T\) ， \(\vec{i}\) 变为 \(\vec{i'}\) ， \(\vec{j}\) 变为 \(\vec{j'}\) ，那么这个新的基下 \(\vec{x'} = a\vec{i'} + b\vec{j'}\) .
矩阵
如果 \(\vec{i'} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) 和 \(\vec{j'} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\) ，这个线性变化就完全由这4个坐标数字确定，我们可以用 \(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\) 矩阵的形式来表示这个线性变换。
这样，矩阵对向量的乘法就可以这样理解：
\(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+cy \\ bx+dy \end{pmatrix}\). 向量原来的坐标，代表着在原来的基下线性组合的系数。这个线性变化作用在向量上，组合系数不变，基向量改变。 也可以看作对新的基向量进行伸缩再相加。
这像是把矩阵写成列向量再做乘法。 在这个视角下，可以快速写出你想要的线性变化对应的矩阵，从而利用这个乘法得到坐标的变化公式。
矩阵之间的乘法则是求两个线性变换的复合，找到等效于先后进行这两个线性变换的矩阵。 形式化的说：
若矩阵 \(A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix},B = \begin{pmatrix} e & g \\ f & h \end{pmatrix}\) ，对向量 \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) ，如果矩阵 \(C\) 使得 \(AB \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = C\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\)，那么定义 \(C = AB\). 这个复合变化是先进行 \(B\) 的线性变化，然后进行 \(A\) 的。类似于复合函数的读法，也是从内向外。
那么矩阵乘法可以这样理解：
\(AB = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & g \\ f & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{i''} & \vec{j''} \end{pmatrix} = C\). 其中 \(\vec{i''} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+cf \\ be+df \end{pmatrix}\). \(\vec{j''}\) 与之同理. 先对直角坐标系的基进行 \(B\) 的线性变换，得到的新基就是 \(B\) 的两个列向量。这两个新的基向量再进行 \(A\) 线性变换的结果，可以运用上面的结论。
从线性变化的角度看，矩阵乘法的一些性质就是显然的了：
- 不满足交换律
\[AB \neq BA\]
比如先旋转再剪切，和先剪切再旋转的效果是不一样的。
- 结合率
\[(AB)C = A(BC)\]
乘法是个等效于所有进行的线性变换的线性变换。
非方阵
\(A\vec{\beta} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \\ n \\ u \end{pmatrix}\). 这个三行两列的矩阵其实是把二维的向量投射到三维去。
也就是说，无论如何，\(A\) 的列向量依旧代表变换后的基向量，而 \(A\) 的行数是变换后的基向量的维数。
基变换、坐标变换、矩阵变换
从线性空间的一组基底 \(\vec{i},\vec{j}\) 到另一组基底 \(\vec{a},\vec{b}\) 的过渡矩阵/基变换矩阵为 \(P\) ，已知向量 \(\vec{p}\) 在 \(\vec{i},\vec{j}\) 下的坐标为 \((x_1,y_1)\) ，在 \(\vec{a},\vec{b}\) 下的坐标为 \((x_2,y_2)\) ，那么有\(\)\begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} \end{pmatrix} P\(\)和\(\)\begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix} = P^{-1} \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix}\(\)
对于坐标变换，课本的证明方法是，对于同一个向量 \(\vec{p}\) ，有 \(\begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\) ，代入过渡矩阵即可。
同一个线性变换，在基 \(\vec{i},\vec{j}\) 下为 \(A\) ，那么在基 \(\vec{a},\vec{b}\) 下为 \(P^{-1}AP\) ，这就是不同基下的矩阵变换。 这部分没看懂…