一般线性方程组解的存在性

线性方程组可以写成矩阵的形式，类似 \(A\vec{x} = \vec{b}\) 的形式其实也暗含了要求的未知数的性质：未知数组成的向量经过已知线性变换到已知向量。

（类似克莱姆法则）对 \(A\) 的行列式分类： 情况一： 如果 \(A\) 不是一个退化的线性变换，也就是 \(det(A) \neq 0\) ，我们只要对 \(\vec{b}\) 进行一个作用和 \(A\) 相反的线性变换就能得到唯一的答案，写作 \(\vec{x} = A^{-1} \vec{b}\). 这就是逆变换和对应它的逆矩阵。 先后使用变换和它的逆变换，结果保持不变，写作 \(AA^{-1} = A^{-1}A= E\).

情况二： 如果 \(A\) 是是一个退化的线性变换， \(det(A) = 0\)，这时逆矩阵是不存在的。因为这样的变换减少了空间的维度，不存在某个线性变换，能一对一的把低维空间映射到整个高维空间去。

• 这和非方阵对应的线性变换不矛盾，把二维的向量映射到三维空间里，最多也是映射到一个平面上，无法覆盖“整个高维空间”，线性变换不会改变空间的自由度。 这时候解的存在性取决于 \(\vec{b}\) 的位置。假设方程组是三元的，\(A\) 是一个把空间压缩到一条直线的变换，如果 \(\vec{b}\) 正好在这条直线上，就有解；否则无解。

列空间和齐次线性方程组

\(A\vec{x}\) 的所有结果组成的空间叫列空间。 根据矩阵和线性变换中关于矩阵对向量乘法的关系，这实际上就是矩阵的列张成的空间。

零向量必然包含在列空间之中，因为线性变换后原点的位置是不变的。 情况一： 如果这个变换是满秩的，空间没有被压缩到低维，此时的线性变换是个双射，故只有零向量变换后还是零向量。

• 这对应了齐次线性方程组的唯一解情况，\(rank(A) = n\).

情况二： 如果不满秩，那么所有被变换到零向量的向量组成的空间就叫零空间，或者叫线性变换的核。

• 零空间其实就是解空间（记作\(ker(A)\)）。这对应了齐次线性方程组有无穷解的情况，\(rank(A) \neq n\). 下面是具体的分析： 对于一个二阶的不满秩矩阵，有一整条直线上的向量经过线性变换，变成了零向量（前提是这不是零变换）。 对于一个三阶的不满秩矩阵，如果对应的线性变换把空间压缩到一个平面（\(rank(A) = 2\)），那么会有一整条直线上的向量（\(dim(ker(A)) = 1\)）经过线性变换变成了零向量；如果空间压缩到一条直线，那么会有一整个平面上的向量经过线性变换变成了零向量；如果空间被压缩到一个点，这个点必须是原点，整个原来的空间就是零空间。
• 这其实在说，齐次线性方程组的解是无穷多的，但是解空间的维数/基础解系的向量个数由系数矩阵的秩确定，\(rank(A) + dim(ker(A)) = n\).