对于 \(\vec{\alpha} \neq \vec{0}\)， 如果 \(A \vec{\alpha} = \lambda \vec{\alpha}\)，那么 \(\vec{\alpha}\) 称为矩阵 \(A\) 的特征向量， \(\lambda\) 称为矩阵 \(A\) 的特征值。

把矩阵看作线性变换，这个等式的意思也就是，变换前后，向量 \(\vec{\alpha}\) 的方向没有变换，没有离开原本张成的空间。标量 \(\lambda\) 代表它被伸缩的倍数。 因为线性变换不会改变原点，所以对于任意矩阵，零向量都满足这个式子，没有研究的意义。但是0特征值是值得考虑的。

如果矩阵是三维的且这个变换是旋转变换（\(\lambda = 1\)），那么找到的特征向量就是旋转轴。

对原式移项得到 \((A-\lambda E)\vec{\alpha} = \vec{0}\) ，由于要找该齐次线性方程组的非零解，所以需要有 \(det(A - \lambda E) = 0\) 。该式可以求得 \(\lambda\) 。 之后，带入到移项后的式子，相当于求解齐次线性方程组，解即为 \(\vec{\alpha}\) 。

3B1B 的解释： 原式的两侧乘法不同，故将其统一。数乘向量的结果与左乘矩阵 \(\lambda E\) 是一样的，之后移项，得到 \((A-\lambda E)\vec{\alpha} = \vec{0}\) 。 这个式子代表矩阵与非零向量相乘，结果为零向量。根据线性方程组中齐次线性方程组情况二的内容，当且仅当这个矩阵把空间压缩到低维，才能有向量被压缩到零向量。

如果矩阵的所有特征向量正好是它的基向量，这个矩阵就是个对角矩阵。 我们也可以通过基变换的内容把矩阵变为一个对角矩阵，只要把原来矩阵的基变为特征向量即可。

从线性空间的一组基底 \(\vec{i},\vec{j}\) 到另一组基底 \(\vec{a},\vec{b}\) 的过渡矩阵/基变换矩阵为 \(P\) ，则\(\)\begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} \end{pmatrix} P\(\)同一个线性变换，在基 \(\vec{i},\vec{j}\) 下为 \(A\) ，那么在基 \(\vec{a},\vec{b}\) 下为 \(P^{-1}AP\) ，这就是不同基下的矩阵变换。

因为原本矩阵的基默认是自然基 \(\vec{i},\vec{j}\) ，所以过渡矩阵也就是特征向量为列向量组成的矩阵（教材中的相似变换矩阵）。 矩阵变为 \(P^{-1}AP\) ，这是基变换后，从特征向量作为基向量的视角下的变换，所以这就是个对角矩阵。

由此可以理解矩阵对角化的充要条件：

\(n\) 阶矩阵 \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量，那么 \(A\) 可对角化。

这个条件下，相似变换矩阵的列向量才能张成完整的空间。