了解一个线性变换对空间的缩放程度是很有用的，这其实就是行列式的几何意义。 严谨的说，行列式的绝对值表示了空间缩放的倍数，而符号代表方向。行列式为负说明空间发生了翻转，可以对基向量用右手法则判断。 由于线性变换下，坐标轴保持平行且等距，所以只需要考虑基向量围成的空间变化即可，其他的空间也同等程度的变化。
二维的线性变换考虑面积的缩放，三维则是体积的缩放。 虽然任意矩阵都对应一个线性变换，但是只有方阵才有行列式。一个非方阵代表的线性变换可能涉及维数的提升或降低，然而只有同维才能比较空间的缩放。如果强行定义，可能会出现除以0或恒为0的情况。
特别考虑行列式为0的情况，这说明变换后维数被减少，所以这样的线性变换被称作“退化的”。在三维的情况下，行列式为0说明空间被压缩到一个平面、一条直线或者一个点，维数都降低了。 至于具体降低了多少，需要用到秩的概念。
- 对角矩阵的行列式公式
若 \(A= \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix}\)，那么 \(det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\).
因为 \(A\) 的各个列向量代表线性变换后的基向量，大部分元素为0，这说明线性变换后基向量的方向都不变，只进行了 \(a_{ii}\) 倍的缩放，故最后空间的缩放也就是这些倍数相乘。
- 乘积的行列式公式
\(det(AB) = det(A)det(B)\).
\(AB\) 只是先后应用两个线性变换而已，结果和分别应用是一样的。
- 叉乘的行列式公式
若 \(\vec{\alpha} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} , \vec{\beta} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\)，那么它们叉乘的大小是 \(\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad-bc\).
因为二维向量叉乘的几何意义和二阶行列式几何意义是一样的。
- 行列式是特征值的乘积