粒子滤波 Particle Filtering¶

有时候HMM的状态空间\(X\)太大或者是连续的，无法推理/储存/计算，就需要用采样的方法解决

例如，下面这个3*3表格的状态，每个状态都有一个概率值，总共存储9个数

概率；y\x	2	3
3	0.1	0.0
2	0.0	0.2
1	0.2	0.5

假设总共使用10个粒子，可能是这样：

个数；y\x	2	3
3	1
2		2
1	2	5

最后只需要储存这10个粒子的坐标和对应权重：(3,1,w=1),(3,1,w=1)...

在这个例子里，存储粒子的开销比直接存储状态要大，但一般存储粒子的开销是远低于状态的。

某一个状态的\(P(x)\)就由粒子的加权占比决定，一开始初始化所有权重为1/N

粒子滤波的循环步骤是：预测（时间流逝更新），更新（观测更新），归一化，重采样

时间流逝更新¶

遍历所有粒子，对选中的粒子，假设在状态\(x\)，从转移概率\(P(X' \mid x)\)中采样一个状态\(x'\)
然后把这个粒子移动到这个状态

与前向算法的关系
这其实就是在模拟前向算法的时间流逝更新

\[ B'(X_{t+1}) = \sum_{x_t} P(X' \mid x_t) B(x_t) \]

粒子的情况相当于这里的信念分布\(B(x_t)\)，如果粒子数量足够多，这就可以反映转移概率的情况

观测一个新的证据，然后根据这个证据，和粒子（假设位于状态\(x\)）的匹配程度，为所有粒子分配权重\(w(x)\)

\[w(x) = P(e \mid x) \]

其中\(P(e \mid x)\)是观测概率，是HMM中给定的量
这个值越大，说明粒子的状态越支持这个证据，似然值越高，分配的权重也越大

与前向算法的关系
这其实就是在模拟前向算法的观测更新

\[ B(X_{t+1}) \propto_{X_{t+1}} P(e_{t+1} \mid X_{t+1}) B'(X_{t+1}) \]

粒子的情况相当于这里的信念分布\(B'(X_{t+1})\)，通过分配权重，就是乘以了这个式子的系数\(P(e_{t+1} \mid X_{t+1})\)

正如刚刚所说，模拟观测更新引入了系数，之后也和前向算法一样，要对所有粒子的权重进行归一化
使得这个采样集合能满足概率分布，可以进行下一步重采样

根据当前粒子的权重情况作为概率，抽取个数相同的新粒子，然后放弃当前所有的粒子

详细的说是：

图中没有归一化这一步，而是在重采样计算抽样概率时进行

和推理方法不同，粒子滤波这种采样的方法直接模拟HMM里那些不可知的状态

应用（强烈建议观看1h出头的演示）：